مقاييس إحصائيّة من جدول التكرار
اكتبوا جدول تكرار (أو اختاروا مثالًا عشوائيًّا) واحصلوا على المعدّل والوسيط والمنوال والمدى والانحراف المعياريّ — كلّ مقياس مع الحساب خطوة خطوة. ثمّ جرّبوا: ماذا يحدث للمقاييس إذا أضفنا عددًا لكلّ القيم أو ضربناها؟ وفي وضع التدريب تحصلون على جدول جديد وسؤال جديد في كلّ مرّة، مع فحص الإجابة والحلّ الكامل.
للاستكشاف مع الشرح التفاعليّ والتقارير: أداة الإحصاء ←
جدول التكرار
اكتبوا القيم وتكراراتها — كلّ النتائج تتحدّث فورًا.
| التكرار |
|---|
المقاييس
عدد المعطيات N = 23. اضغطوا على أيّ مقياس لرؤية الحساب خطوة خطوة.
المعدّلx̄ = 2كيف حسبنا؟
المعدّل = مجموع (القيمة × تكرارها) مقسومًا على عدد المعطيات:
x̄ = Σ x·fN
Σ x·f = 0·3 + 1·5 + 2·8 + 3·4 + 4·2 + 5·1 = 46
x̄ = 4623 = 2
الوسيطMe = 2كيف حسبنا؟
عدد المعطيات N = 23 فرديّ، لذا الوسيط هو المعطى رقم (N + 1) ÷ 2 = 12 بعد الترتيب.
نجد مكانهما بالتكرار المتجمّع (كم معطًى حتّى هذه القيمة، بما فيها):
| عدد الإخوة | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| التكرار | 3 | 5 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| التكرار المتجمّع | 3 | 8 | 16 | 20 | 22 | 23 |
| أرقام المعطيات | 1–3 | 4–8 | 9–16 | 17–20 | 21–22 | 23 |
المعطى رقم 12 قيمته 2، إذن Me = 2.
طريقة أخرى بلا تكرار متجمّع: الشطب من الطرفين ←
المنوالMo = 2كيف حسبنا؟
نبحث في سطر التكرار عن أكبر عدد: أكبر تكرار هو 8.
هذا تكرار القيمة 2، إذن المنوال Mo = 2. (المنوال قيمة، وليس التكرار 8.)
المدىR = 5كيف حسبنا؟
المدى = القيمة الكبرى − القيمة الصغرى (من القيم التي تكرارها أكبر من 0):
R = 5 − 0 = 5
الانحراف المعياريّσ ≈ 1.29كيف حسبنا؟
الانحراف المعياريّ يقيس بُعد المعطيات عن المعدّل. نستعمل x̄ = 2 (من دون تقريب في الحساب):
| القيمة x | التكرار f | x − x̄ | (x − x̄)² | f·(x − x̄)² |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 3 | −2 | 4 | 12 |
| 1 | 5 | −1 | 1 | 5 |
| 2 | 8 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 4 | 1 | 1 | 4 |
| 4 | 2 | 2 | 4 | 8 |
| 5 | 1 | 3 | 9 | 9 |
| المجموع | 23 | 38 |
σ = √(Σ f·(x − x̄)²N) = √(3823) = √1.6522 ≈ 1.29
التمثيل البيانيّ
ماذا يحدث للمقاييس إذا غيّرنا كلّ القيم؟
| المقياس | قبل | بعد |
|---|---|---|
| المعدّل | 2 | 7 |
| الوسيط | 2 | 7 |
| المنوال | 2 | 7 |
| المدى | 5 | 5 |
| الانحراف المعياريّ | 1.29 | 1.29 |
إضافة 5 لكلّ القيم تُزيح المعطيات كلّها: المعدّل والوسيط والمنوال تزداد بـ 5، أمّا المدى والانحراف المعياريّ فلا يتغيّران (البُعد بين المعطيات لم يتغيّر).
أيّ معطًى يجب أن نضيف ليصبح المعدّل…؟
تذكير سريع
- المعدّل: نضرب كلّ قيمة في تكرارها، نجمع، ونقسم على عدد المعطيات N (مجموع التكرارات).
- الوسيط: القيمة التي في الوسط بعد الترتيب؛ إذا كان N زوجيًّا فهو معدّل المعطيين اللذين في الوسط.
- المنوال: القيمة ذات التكرار الأكبر — قيمة من سطر القيم وليس من سطر التكرار.
- المدى = القيمة الكبرى − القيمة الصغرى. الانحراف المعياريّ يقيس معدّل بُعد المعطيات عن المعدّل.
- إضافة عدد ثابت لكلّ المعطيات لا تغيّر المدى ولا الانحراف المعياريّ؛ الضرب في عدد يضرب كلّ المقاييس.